Hướng dẫn giải cụ thể bài 18 trang 110 sgk toán 9 tập 1 – Kiến Guru

Với một chương mới về đường tròn ở hình học lớp 9, vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn là một kiến thức nền tảng vô cùng quan trọng để có thể áp dụng cho các bài tập sau này. Nội dung này không chỉ nằm trong chương trình lớp 9 mà còn xuyên suốt những năm học cấp 3 cùng với hình không gian và thi Đại học.

Trong bài viết dưới đây, chúng mình sẽ hướng dẫn các bạn giải cụ thể bài 18 trang 110 sgk toán 9 tập 1 và hiểu kĩ hơn về phần lý thuyết này nhé!

I. Lý thuyết trong giải môn toán 9 bài 18 trang 110 tập 1

1. Khái niệm về đường thẳng và đường tròn

Để có thể hiểu về các kiến thức sâu hơn, ta cần phải nắm chắc về những khái niệm cơ bản. Sau đây, chúng mình sẽ giới thiệu đến các bạn những định nghĩa cơ bản nhất về đường thẳng và đường tròn trong hình học phẳng.

• Đường thẳng là một khái niệm không được định nghĩa, là cơ sở đầu tiên để xây dựng các khái niệm toán học khác. Đường thẳng có đặc điểm là không có chiều rộng và không cong tại mọi điểm. Một đường thẳng được xem là một đường dài, mỏng, thẳng và chỉ có một đường duy nhất đi qua hai điểm bất kì.
• Đường tròn là tập hợp của tất cả các điểm trên cùng một mặt phẳng và cách đều tâm (điểm cho trước) một khoảng cách nhất định. Đường tròn tâm O bán kính R được kí hiệu là (O;R).

Sau khi đã hiểu rõ các khái niệm của đường thẳng và đường tròn, chúng mình sẽ tiếp tục giới thiệu những kiến thức cơ bản của các vị trí tương đối.

2. Lý thuyết về ba loại vị trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn

Ba trường hợp về vị trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn là : Đường thẳng và đường tròn cắt nhau tại hai điểm . Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc vuông góc tại một điểm duy nhất. Đường thẳng và đường tròn không giao nhau.

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

2.1. Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

Đây là dạng đầu tiên của ba vị trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn. Trường hợp xảy ra khi một đường thẳng a bất kì cắt đường tròn tâm O bán kính R tại hai điểm chung.

Như vậy ta có thể nói, đường thẳng a và đường tròn (O;R) cắt nhau một khoảng từ O kẻ vuông góc với đường thẳng a. Gọi H là chân đường vuông góc và OH là khoảng cách giữa tâm và đường thẳng.

2.2. Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau tại một điểm

Trường hợp mà đường thẳng và đường tròn chỉ tiếp xúc tại 1 điểm chung duy nhất được gọi là điểm C thì ta có thể nói đường thẳng a và đường tròn (O;R) tiếp xúc với nhau.

Đường thẳng a trong trường hợp này được gọi là đường tiếp tuyến của đường tròn đó. Khoảng cách OC cũng được coi là bán kính của hình tròn (O;R).

Có một định lý cho trường hợp vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn này như sau: Nếu một đường thẳng a là đường tiếp tuyến của một đường tròn (O;R) thì đường thẳng đó vuông góc với bán kính R và tiếp xúc đường tròn tại tiếp điểm C.

2.3. Đường thẳng và đường tròn không tiếp xúc với nhau

Đây là trường hợp cuối cùng trong ba trường hợp vị trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn. Là khi mà giữa hai yếu tố đường thẳng và đường tròn không hề có một điểm chung nào.

3. Hệ thức cho ba vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Từ các trường hợp như trên, có thể rút ra kiến thức trong bảng sau:

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

2

1

0

d < R

d = R

d > R

4. Các dạng bài tập thường gặp về vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

• Dạng 1: xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn dựa vào hệ thức nêu trên. Từ đó, dựa vào tính chất của từng bài tập mà tính theo yêu cầu đề bài.
• Dạng 2: tính toán dựa vào tính chất tiếp tuyến. Đây là dạng bài tập thường gặp và có thể có dạng nâng cao. Khi gặp đề bài toán này, thường có một đường thẳng và là tiếp tuyến của đường tròn, sau đó kẻ thêm hình và tính kết quả các cạnh. Thường áp dụng thêm định lý Py-ta-go.
• Dạng 3: Tìm tập hợp điểm cho sẵn theo yêu cầu đề bài. Dựa vào tính chất đường phân giác, đường vuông góc, đường song song để chứng minh.

Giải bài tập trong trục tọa độ:

Nếu cho một đường tròn (O;R) với R=d. Đường thẳng a chỉ tiếp xúc với đường tròn O khi khoảng cách từ O tới a bằng với bán kính R.

• Trục tung Oy có phương trình x=0 nên đường tròn O tiếp xúc Oy khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm O tới đường thẳng a bằng bán kính R.
• Trục hoành Ox có phương trình y=0 nên đường tròn O tiếp xúc Ox khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm O tới đường thẳng a bằng bán kính R.
• Đường tròn O tiếp xúc cả 2 đường thẳng khi Ox=Oy=R.
• Với đường thẳng a có dạng : ax + bx + c = 0 với tiếp điểm là C(x0;y0). Khoảng cách trong trục tọa độ được tính theo công thức :

II. Giải đáp chi tiết bài 18 trang 110 sgk toán 9 tập 1

Để hiểu rõ hơn về phần kiến thức này, chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu lời giải bài 18 trang 110 sgk toán 9 tập 1 nhé!

Đề bài

: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 4). Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (A; 3) và các trục tọa độ.

Lời giải

Kẻ AH ⊥ Ox, AK ⊥ Oy.

Vì AH = 4 > R = 3 nên đường tròn tâm (A) và trục hoành không giao nhau.

Vì AK = 3 = R nên đường tròn (A) và trục tung tiếp xúc nhau.

III. Lời giải và đáp án các bài tập khác trang 110 sgk toán 9 tập 1

Để nhuần nhuyễn hơn trong giải đáp phần kiến thức này, chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu lời giải và đáp án các bài tập khác trang 110 sgk toán 9 tập 1 nhé!

1. Bài 17 (trang 109 SGK Toán 9 Tập 1)

Điền vào các chỗ trống (…) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng):

R d Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 5cm 3cm … 6cm … Tiếp xúc nhau… 4cm 7cm …

Lời giải:

Từ hệ thức giữa d và R ta có bảng:

R d Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 5cm 3cm Cắt nhau (d < R) 6cm 6cm Tiếp xúc nhau (d = R) 4cm 7cm Không giao nhau (d > R)

2. Bài 19 (trang 110 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho đường thẳng xy. Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm và tiếp xúc với đường thẳng xy nằm trên đường nào?

Lời giải:

Gọi O là tâm của một đường tròn bất kì có bán kính bằng 1cm và tiếp xúc với đường thẳng xy.

Ta có: R = 1, và đường tròn tiếp xúc với đường thẳng xy nên ta có: d = R, suy ra d = 1.

=> Tâm O cách đường thẳng xy một khoảng cố định 1cm nên nằm trên các đường thẳng (a) và (b) song song với xy và cách xy một khoảng là 1cm.

3. Bài 20 (trang 110 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho đường tròn tâm O bán kính 6cm và một điểm A cách O là 10cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.

Lời giải:

Xét đường tròn (O)

Có:

B là tiếp điểm nên OB = R = 6cm.

AB là tiếp tuyến tại B nên AB ⊥ OB tại B

Xét tam giác ABO vuông tại B (do AB ⊥ OB)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

Kết luận

Trong bài viết trên, chúng mình đã và khái quát cho các bạn những kiến thức cơ bản về các trường hợp tương giao giữa đường thẳng và đường tròn và hướng dẫn các bạn giải cụ thể bài 18 trang 110 sgk toán 9 tập 1 để từ đó hiểu kĩ hơn về phần lý thuyết vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Mong rằng bài viết về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn này sẽ giúp cho các bạn học sinh hiểu rõ hơn về bài học và làm tốt bài tập của mình.

Nếu có nhu cầu tìm kiếm thêm những kiến thức toán lớp 9 hoặc có bất kỳ câu hỏi liên quan, các bạn hãy liên hệ với chúng mình để được giải đáp nhanh nhất có thể.

Chúc các bạn đạt được điểm số cao!